2017年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设T 是线性空间V 的线性变换且
①②③
【答案】①因为反之，若
对V 的线性变换S 不变
故对任意即
故
因此②由于对任意再由故③设但由①，则
，由（3）（4）知，反之，设TS=ST.则对又若故
则’即
于是
对S 也不变.
故 ST=TS. 有使
故
即
对S 不变.
与则对
因此，
对S 都不变. 则对任意
且对S 不变，故有使
有
必有
且
故存在使
从而
故
有
即
证明：
2． 将A 化为若当标准形，其中
【答案】令
则
由若当标准形为
故
，-1的几何重数为则A 1的特征值为-1 （2重）由
的若当标准形为
则
故
的
，1
的几何重数为的特征值为1 （2重）
综上所述，A 的若当标准形是
注对于准对角矩阵
可以对每一主对角元A i 求出其若当标准形
则
是A 的若当标准形.
3． 设f （x ）, g （x ）都是P （x ）中的非零多项式，且
证明:不存在使
【答案】用反证法，若存在
使①式成立，则用g （x ）乘①式两端，得
由②式有
但
，所以
，这与
。
矛盾。 ，
且
，这里m ≥1,
若
4． 已知4×4矩阵
（1）求A 的列向量组的一个极大线性无关组成A 的秩r ； （2）求一个满足A=FG.
【答案】（1）
在A 中有一个子式
令（2）令
则A=FG，且秩F=秩G=3.
5． 设A 的特征多项式为，
证明
与A 相似，k 是正整数.
则
为A 的列向量组的一个极大线性无关组.
矩阵F 及一个
，且矩阵G ，使F 和G 的秩都等于，（其中r 是A 的秩）
【答案】由若当定理知，存在可逆矩阵P ，使得
这里于是
由
下面证明