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一、计算题

1． 设随机变量X 服从正态分布

（1）求

的置信水平为

的置信区间； 已知, 的置信水平为

的置信区间为

.

（2）要想使

未知. 在X 的10个观测值的平均值

时.

的置信水平为0.95的置信区间的长度不超过1, 则n 至少取多大？

【答案】 （1）由于所以正态总体数学期望由题设知故

的置信水平为0.95的置信区间为

的置信水平为0.95的置信区间为

（2）当观测值个数为n 时,

于是要使这个区间的长度不超过1, 即123.

2． 若总体X 服从如下柯西分布:

必有即观测值个数n 最少为

而

是它的一个样本，试求的估计量.

的估计量.

最小，则得

，很难说是

的一个合适的估计量，

【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到若用最小二乘法，即使

因为这时无偏性、有效性都失去意义，而且与同分布，

说明也没有起到汇集的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为

其对数似然函数为

对求导可得对数似然方程为

这个方程只能求数值解，比如用牛顿迭代法. 由于是总体分布的中位数，因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看，该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.

3． 口袋中有5个球，编号为1，2, 3, 4, 5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.

（1）试求X 的分布列；

（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有号码，则X 的可能取值为3, 4, 5. 因

为

，所以

所以X 的分布列为

表

（2）由分布函数的定义知

的图形如图

.

种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大

，且当

时，有

图

4． 设总体X 服从正态分布计量，考虑统计量:

为来自总体X 的样本，为了得到标准差的估

求常数注意到

与

使得

与

都是的无偏估计.

和 则

于是有

5． 假设X 是任意总体

, 是样本均值, 记

求: （1）

（2）

【答案】 （1）由于

；

.

独立同分布, 则

,

而且

, 可得

（2）

和和

.

存在,

从而给出

是来自X 的简单随机样本,

即可.

【答案】由期望的公式及对称性，我们只需要求出

（为什么? ）和

我们只需要求出如下期望即可完成本题:设