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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 已知一个

数字滤波器的系统函数为：

（1）试判断该滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）。 （2）该数字滤波器经过一个数字频带变换，变换关系为

试判断变换后的数字滤波器的类型。 【答案】（1）根据题意在系统函数中令

得：

讨论如下： ①当

时，

②当

时

由以上讨论可画出的幅频响应大致如图所示：

图

根据上图波形可看出该滤波器为高通滤波器。 （2）已知变换关系：

令①当

讨论取值 时，有：

②当

时，有：

该映射关系为所以变换后的滤波器应为高通滤波器。

2．

某一因果线性时不变系统由下列差分方程描述使该系统成为全通系统的b 值统。

【答案】解法1:已知

对上式进行傅里叶变换，得

因此

可以求得此时解法2:令

即该系统的频率响应为常数，是与频率无关的系统。 . 则_

试确定能

所谓全通系统是指其频率响应的模为常数，与频率无关的系

由于是因果线性时不变系统，故可推得

因此

其傅里叶变换为

则

可以求得

. 即该系统的频率响应为常数，是与频率无关的系统。 此时

3． 设计一个L=3的内插器，要求滤波器是线性相位FIR 型的，阻带衰减不小于20dB ，过渡带宽度小于

求出该滤波器冲激响应

的表达式，并分别用直接型高效结构和多相结构滤

低通滤波器。其截止频率为

波器来实现该内插器。

【答案】用窗口法来设计这个内插器中的线性相位

根据其阻带衰减要求，选择矩形窗就可以了，其过渡带宽度应该满足

因此滤波器长度

取 N=9。 现在求冲激响应

将

移位，使对称中心由0移到

对

加矩形窗就得到所求滤波器的冲激响应

h （n ）偶对称，即

图的（a ）和（b ）分别表示该内插器的直接型高效结构实现和多相滤波器实现。