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一、计算题

1． 有一批建筑房屋用的木柱，其中其中至少有30根短于

的长度不小于

现从这批木柱中随机地取出100根，问

利用棣莫弗-拉普拉

的概率是多少？

的根数，则

【答案】记X 为100根木柱中长度不小于斯中心极限定理，所求概率为

这表明至少有30根木柱短于

的概率近似为

2． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.

【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0, 1，2, 3, 4, 5. 将52张牌分成两类:一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得

3． 掷三颗骰子，求以下事件的概率:

（1）所得的最大点数小于等于5; （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从若记Y 为所得的最大点数，则

（1）（2）

中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数

，这

是分母，而“最大点数小于等于5”，相当于从

中有返回地任取三个，所有可能为.

4． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；2个黑球. 现任取一个盒子，第三个盒子装有3个白球、从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数.

（1）试求X 的概率分布列；

（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？ 【答案】（1）记为“取到第i 个盒子”，

由全概率公式得

将以上计算结果列表为

表

1

（2）

5． 设

是总体

.

的简单随机样本, 记

（1）证明T 是（2）当【答案】 （1） 故T 是（2）当

的无偏估计量.

时,

.

的无偏估计量； 时, 求DT.

6． 设二维随机变量的联合密度函数为

求【答案】

.

的非零区域与

的交集为图阴影部分，所以

图

7． 设曲线函数形式为

，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

【答案】本题相对于前两题来说，变换形式稍显复杂，根据原函数形式，可考虑作如下变换:

变换后的线性函数为则最后的回归函数化为

8． 设一批产品中一、二、三等品各占取到的是一等品的概率.

【答案】记事件A 为“取出一件不是三等品”，B 为“取出一件一等品”，因为A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”

，所以AB=B，于是所求概率为

. 从中任意取出一件，结果不是三等品，求

，进一步，可将之规范化，令

二、证明题

9． 若

【答案】因为

，证明:

.

•，所以得

由此得