2018年武汉理工大学经济学院802概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某组装产品内有部分噪音很大的次品，很伤脑筋，产生次品的原因似乎是由于这种组装品的某个部位的间隙过大引起的，为检验这个认识是否正确，特从正品对其间隙进行了测量，测量数据如下（单位:pm ）
表
1
在正态分布假设下请对
与
中的间隙的均值间是否存在显著差异进行检验（取
. ）
和次品
中各抽出8个，
【答案】这是单因子（间隙）二水平等重复试验，其均值比较可用两种方法进行检验. 方法一，方差分析法，具体操作如下. （1）计算各个和:（2）计算各个平方和:
（3）列出方差分析表:
表
2
（4）判断:若给定显著性水平
，由于
异.
方法二，双样本t 检验.
，可查得拒绝域为
故因子A 显著，即正品与次品的该部位的平均间隙有显著差
在正态总体方差相等的条件下两均值的比较还可用双样本的t 检验. 检验统计量为
其中
是两样本量，
是两样本均值，
如今由样本可算得
对给定显著性水平查表得
; 拒绝域为，由于
，
, 故应拒绝两均值相等得假设， 分布，
此结论与方差分析相同. 这里两种检验的结果相同的现象不是偶然的， 因为自由度为的t 变量的平方就是因此这两个方法是等价的. 其临界值亦有即. 2． 设
记【答案】
独立同分布服从
试找出与t 分布的联系，因而定出的密度函数.
的联合密度函数为
记
取一个n 维正交矩阵A ，其第一行为元素全为
其余元素只要满足正交性即可. 令
则该变换的雅可比行列式为1，且注意到:
于是
的联合密度函数为
由此，
独立同分布于
且
令
则
而
.
第二行为
这就建立了与t 分布的联系，并可定出的密度函数.
3． 设回归模型为
试求
的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？
【答案】似然函数为
其对数似然函数为
导并令导函数为0, 得到如下似然方程组
，（忽略常数项）将其分别对
求
经过整理可以解出
可以看到
的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.
4． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,
求: （1）随机变量V 的概率密度（2）
故V 的概率密度为
；
【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为
的分布函数为