2016年信阳师范学院物理电子工程学院高等数学(同等学力或跨学科加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
，其中f 具有连续的二阶偏导数，求
。
2． 求下列极限:
（1）（2）
【答案】（1）记
，其中f （x ）连续；
（2）先证明所求极限为未定式。 由于
当
时
，
>1，
记
故有
，从而利用洛必达法则有
，则
当
时
有
3
． 确。
定常
数，使在右半平
面内的向
量
为某二元函
数
【答案】在单连通区域G 内，
若
为某二元函
数
本题中有
的梯度，并
求
具有一阶连续偏导数，
则向量的梯度（此条件相当
于
在G 内恒成立。
是u （x , y ）的全微分）的充分必要条件是
由等式
得到
由于
在半平面x>0内，取
，故
即
则得
4．
求函数
向的方向导数。
【答案】椭球面在点
处的沿法外线方向的一个向量为
，则
在椭球面
上点
处沿法外线方
5． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出 6． 设
求
和
，并作出这两个函数的图形。
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
【答案】由题意知
和
的图形依次如图1，图2所示
.
图1 图2
二、证明题
7． 证明：
【答案】令
，则
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