2017年大连理工大学综合考试之高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 求下列微分方程的通解:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【答案】（1）
（2）将方程改写成
，则
（3）
（4）
（5）将原方程写成
，则
第 2 页，共 37 页
（6）
（7）
（8）将原方程写成
，则
（9）
（10）将原方程改写成
，则
2． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长。
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【答案】（1
）
。
（2）
第 3 页，共 37 页
3． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
4． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
，即微分
第 4 页，共 37 页
相关内容
相关标签