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一、计算题

1． 设

【答案】记

为来自

的样本，试求假设样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，

函数是

从而似然比检验等价于采用检验是等价的. 2． 设

是来自

的样本, 试求

的分布.

故

又与

独立, 于是

3． 测得一组弹簧形变x （单位：cm ）和相应的外力y （单位：N ）数据如下：

表

由胡克定律知

试估计k ，并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.

且

与

服从二元正态分布, 故

【答案】由条件,

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方在（0, 1）区间内单调递增，

在（

）上单调递减，于

分别为

的MLE , 而在

上

为u 的

的似然比检验.

【答案】已知k 的最小二乘估计为

的均值和方差分别为k

和

又

因此的预测区间为

其中

此处，由样本数据可计算得到

从而

而x=2.6cm相应的外力的预测值为

当

时，查表知

故

因而得到的预测区间为

在题中已经给

出所

以

且两者独立，从而有

从

而

其中

4． 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.

（1）试求X 的分布列；

（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有号码，则X 的可能取值为3，4，5.

因为

所以

所以X 的分布列为

1种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大

且当

时，

有

表

（2）由分布函数的定义知

F （x ）的图形如图

.

图

5． 设随机变量X 的分布函数为

试求

【答案】X 的密度函数为

所以

由此得

6． 设

为取自泊松分布

的随机样本.

的水平

的检验.

的图像.

（1）试给出单边假设检验问题（2）求此检验的势函数【答案】（1）选

在A=0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出

为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝所以，该检验问题的拒绝域形