2017年中国科学技术大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1 设．
是来自分布函数为
给定时,
密度函数为联合密度函数为
而后
个次序统计量
的联合密度函数为
故所求的联合条件密度函数为
最后结果表明:
所求条件密度函数只与
有关, 而与
的取值无
关. 从而, 其分布也仅依赖
于的给定
值这样一来, 条件密度函
数
完全可以写成
2． 某乳制品公司有四个车间生产同一种酸乳酪，为考察四个车间产品中脂肪含量是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取8个样品送到实验室进行脂肪含量测定，测量结果如下：
表
1
的一个样本.
是其
次序统计量, 试求在
【答案】次序统计量
的联合条件密度函数.
试比较各车间生产的酸乳酪中脂肪含量均值有无显著差异（取α=0.05）. 【答案】为简化运算先把测量值
减去3后再乘以100，可得下表：
表
2
利用上表数据可算得各平方和.
把它们移至方差分析表，继续计算.
表
3
对给定的显著性水平
查表得
由于
故因子A
显著，即四个车间生产的酸乳酪中脂肪含量均值有显著差异.
进一步可以给出各车间生产的酸乳酪中脂肪含量均值的估计. 大家知道，线性
变换
不会改变方差分析表中F 比的值，故不影响方差分析的结果，但会影响诸水
平均值与误差方差的估计值，这是因为上述变换的逆变换为
如今有
从而可知
3． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.
（1）（2）
【答案】（1）因为
可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知
所以
由此得（X , Y ）的协方差矩阵为
（2）利用
的对称性可得
从而有
又因为
所以
又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
4． 在一个单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下重复次数分别为5，7，6，8. 那么误差平方和、A 的平方和及总平方和的自由度各是多少？
【答案】此处因子水平数r=4，总试验的次数n=5+7+6+8=26，因而有 误差平方和的自由度因子A 的平方和的自由度总平方和的自由度
和的泊松分布, 试求
这说明:
6． 设X 与Y 的联合密度函数为
【答案】当
时, p （x , y ）的非零区域与
试求Z=X-Y的密度函数.
的交集为图阴影部分, 所以
服从二项分布b （n , p ）, 其中
所以
5． 设X 与Y 相互独立, 分别服从参数为
【答案】因为
, 所以
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