当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 按定义

显然

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩；

（4）最后计算偏度卢；与峰度卢。

所以泊松分布是正偏分布，愈小偏度愈大

.

所以泊松分布比标准正态分布更尖峭一些，A 愈小分布愈尖峭.

2． 系统由n 个部件组成. 记

为第i 个部件能持续工作的时间, 如果

独立同分布,

且

试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:

（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为

所以

的密度函数和分布函数分别为

（1）根据题意,

系统持续工作的时间为

而当t>0时

这是参数为

的指数分布, 所以

所以, 当t>0时

所以系统持续工作的平均时间为

3． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：

【答案】

4． 设

是来自正态总体

的一个样本，对

考虑如下三个估计

（1）哪一个是

的无偏估计？

故有

这说明仅有

的无偏估计，而

的有偏估计.

（2）我们知道，估计的均方误差是估计的方差加上偏差的平方，即

而

这给出

于是

所以, 当t<0时,

密度函数

（2）根据题意, 系统持续工作的时间为

（2）哪一个均方误差最小？ 【答案】（1）由于

从而

显然

5． 设随机变量

【答案】（1）（2）

（1）求

所以的均方误差最小. （2）求

（3）确定c

使得

（3）因为所以由题设条件进

而有（c-3）/2=0.由此得c=3.

6． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求

【答案】由条件知P （AB ）=P（A ）P （B ）=0，所以

7． m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m-1个人中的任何一个. 求第n 次传球时仍由甲传出的概率.

【答案】设事件

为“第i 次传球时由甲传出”，记

所以由全概率公式

得递推公式

将P 1=1代入以上递推公式可得

特别，当譬如m=5， 则

最

8 某市要调查成年男子的吸烟率, 特聘请50名统计专业本科生做街头随机调查, 要求每位学生调．

查100名成年男子, 问该项调查的总体和样本分别是什么, 总体用什么分布描述为宜？

； 【答案】（1）总体是该市所有成年男子（的吸烟情况）； （2）样本是被调查的5000名成年男子（的吸烟情况）（3）总体分布为二点分布

则且

时，有

后

其中p 为该市成年男子的吸烟率.