2017年郑州大学概率论复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：
试分别在下列条件下检验假设（
设这批钢管内直径服从正态分布（1）已知【答案】（1）当查表知
（2）未知.
）
.
已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为若取
由样本数据计算如下结果，
检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为（2）当未知时，应采用t 检验，拒绝域为显著性水
平s=0.4760,
查表
得
一其中检验统计量
取
由样本观测值计算
故接受原假设.
2． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.
（1）（2）
【答案】（1）因为
可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知
所以
由此得（X , Y ）的协方差矩阵为
（2）利用
的对称性可得
所以
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又因为
又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
3． 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X （m ）具有密度函数
求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率. 【答案】记Y 为三次测量中误差的绝对值不超过30m 的次数，则测量中误差的绝对值不超过30m”的概率，由
可知
所以“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m”的概率为
4． 某人想用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股. 假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股. 而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买. 试问理财顾问的建议是否正确? 为什么？
【答案】如果现在就购买2元/股，则10000元可购买5000股. 记X 为一年后所拥右的股票市值X 的分布列为
表
1
所以E （X ）=12500元，比一年后购买（市值为10000元）大.
如果一年后购买，记Y 为一年后所购股票数，则10000元等可能地购买10000/1=10000股或10000/4=2500股，所以Y 的分布列为
表
2
由此得E （Y ）=5000+1250=6250（股），比现在就购买（5000股）多.
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其中P 为“一次
因此，理财顾问的建议是正确的.
5． 设
是来自
的样本,
试求常数c 使得
的自由度.
【答案】由条件:立, 因而
, 故
这说明当
时,
, 自由度为
且
相互独
服从t 分布, 并指出分布
6． 口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的. 现再往口袋中放入一个白球，然后从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？
【答案】记事件A 为“取出的是白球”，事件B 为“原来那个球是白球”.容易看出
：
另外由于对袋中原来那个球的颜色一无所知，故设是合理的. 由贝叶斯公式得
7． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.
【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y=X+1服从几何分布E （Y ）=（n+m）/m=n/m+l，由此得E （X ）=E（Y ）-l=n/m.
8． 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 且
求Z 的分布列.
【答案】因为X , Y 相互独立, 所以其联合密度函数为
由此得
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所以
如果定义随机变量Z
如下
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