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一、分析计算题

1． 设f （x ）是一个多项式，用式，证明：

⑴若（2）若

则

是实系数多项式.

（1）

若（2）由到

都是首一多项式，故

2． 设同时为对角阵.

【答案】由于A 可对角，从而存在可逆阵P , 使

其中所以

再由①，②以及

互异，知

为准对角阵，其中为

矩阵. 由于B 可对角化，则它的初等因子都是一次式，再由③知

使

则

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表示把f （X ）的系数分别换成它们的共轭复数后得到的多项

【答案】易知共轭多项式具有以下性质：

则存在多项式故

注意

于是

是实系数多项式.

与

h （X ），使

得

于

是

且A ，B 都可对角化，证明：存在可逆阵T ，使

互不相同，且由AB=BA.

的初等因子也都是一次式. 所应存在可逆阵为对角阵

.

为对角阵. 再令T=PR，则T 可逆，且

由④，⑤即证.

3． 如果非奇异n 阶方阵A 的每行元素和均为a ，试证明：

【答案】由假设有

由A 非奇异，从而A 可逆，用

左乘①式两端得

的行元素和必为

所以

此即的行元素和为

4． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, -1, 2, 设矩阵

（1）矩阵B 的特征值及其标准形，并说明理由； （2）行列式征向量是线性无关的，令

（I 为3阶单位阵）.

试求：

【答案】（1）设A 相应于特征值为1，-1，2的特征向量分别为

则T 为可逆阵，且

所以

由于不同特征值的特

上式说明：B 有特征值-4，-6，-12, 且B 的相似标准形为对角阵①.

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（2）由①得

5． 设线性空间V 的两组基为

（1）求 【答案】（2）如果n=3，答:（1）设

使得

由过渡矩阵A 的第i 行不全为0，设

所以

是否存在j ，

记

因为

使

为V 的基.

为V 的基，为什么？

上式右侧的n 阶矩阵可逆，財（2）结论成立. 事实上：排列. 由

（1）存在使显然

6． 设

是V 的基；再由（1）存在

则

是V 的基. 仍是V 的基，这里

是

的一个

是V 的基，这里

表示实数域R 上全体2阶方阵按加法和数乘构成的R 上的线性空间，定义

上的一

个双线性函数为

其中

（1）证明f 是（2）求f 在

上的对称双线性函数. 的基

.

下的度量矩阵.

【答案】（1）由f 是双线性函数，只需证明f 是对称的，A , B如题设，则

故f 是

上的对称双线性函数。

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