2018年仲恺农业工程学院轻工食品学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 某种福利彩票的奖金额X 由摇奖决定，其分布列为
表
若一年中要开出300个奖，问需要多少奖金总额，才有【答案】记
为第i 次摇奖的奖金额，则可得
根据题意可列如下不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
2． 设
从中解得
取k=9488（万元）即可.
的把握够发奖金.
的把握能够发放奖金.
，设奖金总额为k （万元）
这表明:该福利彩票一年开出300个奖需要准备9488万元，才能以
是来自均匀分布
的样本，试给出一个充分统计量.
【答案】总体的密度函数为
于是样本的联合密度函数为
即
并取
由因子分解定理，
为参数
的充分统计量.
3． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证:的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
的可能取值范围是（0, 1），且
是严格单调减函数， ，所以
都服从区间（0, 1）上
其反函数为的密度函数为
即，知也服从区间（0, 1）上的均匀分布. 结论得证.
4． 为了检验X 射线的杀菌作用，用200kV 的X 射线照射杀菌，每次照射6min ，照射次数为X ，照射后所剩细菌数为y , 下表是一组试验结果.
表
1
从表中数据可见:y 是随着x 的增加开始迅速下降，以后逐渐减缓，最后下降很慢. 据此可认为y 关于x 的曲线回归形式可能有如下形式
（1）（2）（3）
【答案】我们以则回归方程
化为
和剩余标准差s , 并作出比较.
，
为例给出计算过程，令
由数据可算得（参见下表）
从而
于是就得到了程为
关于x 的线性回归方程
. 拟合值与残差平方如下表计算:
表2
，所以y 关于x 的曲线回归方
试给出具体的回归方程，并求其对应的决定系数
决定系数
，
剩余标准差
对其他两个回归方程，可做类似的计算，两个回归方程分别为
三个方程的决定系数及剩余标准差分别为
表
3
可以看出，三个回归方程的决定系数都比较大，其中尤其以第一个方程为最好.
5． 设在区间上的均匀分布
而
上随机地取n 个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望.
则
相互独立，且都服从区间
和
的密度函数分别为
【答案】解法一:分别记此n 个点
我们的目的是求
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