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一、计算题

1 质点M 的质量为m , 在光滑的水平圆盘面上沿弦AB 滑动, 圆盘以等角速度绕铅直轴C 转动, ．

如图1所示. 如质点被两个弹簧系住, 弹簧的刚度系数均为, 求质点的自由振动周期. 设点为质点相对平衡的位置

.

图1

【答案】在光滑水平圆盘上建立动坐标系, 动系做匀角速定轴转动, 水平面内质点M 的受力分析如图2所示

图2

得非惯性系动力学方程:将上式沿#轴分解可得:其中,

图中两弹簧连接后相当于刚性系数为&, 因此,

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上式可化简为:上述微分方程的通解为:所以质点的自由振动周期为:

2． 在惯性系中, 质点系的动能为

其中m 为质点系总质量,

为质心速度,

为质

点系相对于质心坐标系（即以质心为基点的平移坐标系）的动能. 称上式为柯尼希定理. 试利用柯尼希定理导出质点系相对于质心坐标系的动能定理.

【答案】证明:由动能定理

得

其中

所以

即

3． 一运货升降箱重

可以在滑道间上下滑动。今有一重P2的货箱, 放置于箱子的一边如图1

求箱子匀速上

的值。

所示。由于货物偏于一边而使升降箱的两角与滑道靠紧。设其间的静摩擦因数为升或下降面不被卡住时平衡重

图1

【答案】（1）匀速上升时系统处于平衡状态 以两个箱子为研究对象, 受力如图2（a ）所示。 由平衡方程

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得

其中解得

（2）匀速下降时系统处于平衡状态以两个箱子为研究对象, 受力如图2（b ）所示。

图2

由平衡方程

得

其中解得

综上, 当箱子不被卡住, 上升时

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下降时