2017年重庆理工大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 掷一颗骰子两次, 求其点数之和与点数之差的协方差.
【答案】记X 为第一次掷出的点数, Y 为第二次掷出的点数, 则X 与Y 独立同分布,
即有
由此得
2． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求 （1）常数k ; （2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
的非零区域与
的交集如图的阴影部分,
图
由图得
3． 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？
【答案】这个概率可用几何方法确定，记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则（x ，y ）的可能取值形成边长为24的正方形
其面积为
而事件A“不需要等候码头空出”有两
另一种情况是乙
所以事件A 可表示
为
种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足船先到，则甲船在两小时之后到达，即满
足
所以由几何方法得
所以事件A 的区域形成了图中的阴影部分，
其面积为
图
4． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
试求X 的特征函数. 【答案】设由上一题知
其中
是相互独立同分布的随机变量, 且都服从参数为p 的几何分布
所以X 的特征函数为
5． 己知
【答案】由条件概率的定义知
其中
再由
可得
, 则
的特征函数为
又因为
代回原式，可得
6． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试求（X , Y ）的协方差矩阵.
（1）（2）
【答案】（1）因为
可分离变量, 所以X 与Y 相互独立, 由此知
所以
由此得（X , Y ）的协方差矩阵为
（2）利用
的对称性可得
所以
又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
7． 设
【答案】由于
是总体
的一个样本, 求
的分布.
又因为
为独立同分布的N （0, 1）随机变量, 故
且两者独立, 故