2017年重庆理工大学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在（0.4, 0.6）间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？
【答案】
均匀硬币正面朝上的概率
, 据题意
选取次数n 应满足
此式等价于
, 利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界
再由不等式
可得粗糙的估计
即抛均匀硬币250次后可满足要求. 它们的废品率
相同，在第一、二工厂的
设
为n 次抛硬币中正面朝上的次数,
则有
2． 设有两工厂生产的同一种产品，要检验假设产品各抽取绝
个及
个，分别有废品300个及320个，问在5%水平上应接收还是拒
【答案】这里样本量很大，可采用大样本近似，以A 分别表示两个工厂的废品率，则在下，总废品率为
检验统计量为
此
，故检验拒绝域为在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0，1）处.
故
由于
3． 某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列
：均缺陷数.
故不能拒绝原假设，此处经计算，检验的p 值近似为0.1040.
求此种产品上的平
【答案】由题意知Y=X+1可看作服从几何分布Ge （1/2）的随机变量，所以E （Y ）=2，由此得E （X ）=E（Y ）-1=1.
4． 从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本这行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：
东支：
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西支：
否可以看作一样（取
）？
这是一个双侧检验问题，因而拒绝域为
若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的均值是【答案】由已知条件，待检验一对假设为
由样本数据，算得
检验统计量
当
时
因此接受
东、西两支矿脉含锌量的均值可以看作
一样.
5． 一仪器同时收到50个信号, 其中第i 个信号的长度为且都服从（0, 10）内的均匀分布, 试求
【答案】因先-莱维中心极限定理, 可得
设U 是相互独立的,
利用林德伯格
这表明:50个信号长度之和超过300的概率近似为0.0071.
6． 若一次电话通话时间X （单位：min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间.
【答案】因为
7． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为
试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则
所以至少有一个电子元件损坏的概率为
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其中
8． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?
【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为
表
1
所以保险公司的期望收益
为
中解得
所以取
即可满足要求.
表
2
由此可见，若特定事件A 发生的概率超过0.4时，再参加此种保险己无多大实际意义了.
由
即
从
注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有
二、证明题
9． 如果
【答案】对任意的
试证:首先考虑
的分布函数
因此
其中
为X 的分布函数, 类似有
因此
由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,
即可得这就意味着
证毕.
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