2017年中国石油大学(北京)理学院865高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C. 3． 若
【答案】C
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
都是4维列向量，且4阶行列式
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
4． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
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所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
因此
是
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
则A 与B （ ）.
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 若B 是正定阵，A —B 是半正定阵，证明
（1）（2）
且
又因AB 半正定，故（2）因为
由（1）知
7． 解方程组
【答案】方程组的系数行列式
当
由克莱姆法则方程组有唯一解:
再由②知
的行个特征值都不小于1. 所以
也半正定，特征值非负.
此即A ≥1.
【答案】（1）已知B 正定，所以存在可逆阵T ，使
当时，方
程组为
对其增广矩阵作行初等变换：
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时，
方程组为
其解为
其中为自由未知量. 当