2017年中国石油大学(北京)理学院865高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，有
于是
2． 设A 是
矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解
B. 如果秩
则
有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解
【答案】D 【解析】秩
未知量个数，
有零解.
3． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（
【答案】C 【解析】方法1:令
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）
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
所以向量组
线性无关.
线性无关.
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 5． 设
又
则（ ）•
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为空间的两组基，且
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
由②有
二、分析计算题
6． （1）试求将
对角化的正交阵； （2）关于矩阵向量为
求使它对角化的正交阵.
所以
正交单位化得
再求A 属于4的单位特征向量
令
则
求出A 属于1的线性无关特征
【答案】（1）计算可得
为正交阵，且
（2）定义
所以
其中
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