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一、证明题

1． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对存在

使得

在n －1个区间

使得

的n+1个相异的实根为

, 即

, 即

, 并且

至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知,

至少有n －1个相异实根. 如此继至少有一个实根.

上应用罗尔中值定理知, 有n+1个相异的实根, 则方程

至少有一个

续下去可得, 至少有n －2个相异实根,

2． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

上积分, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

3． 证明:

若

【答案】因为时,

故定的

因此是因为 4． 设

【答案】已知

存在

设

则当且仅当A 为何值时反之也成立?

所以对任给的

存在时, 也有

则对任意给 但

不存在, 这

使得当

于是, 对于得到的这个

当

当且仅当使得当

对于函数

.

, 且满足

.

即

时, 逆命题成立. 证明如下:

如果

时

, 有

有.

即

证明:

有下界. 又由

的极限存在, 并求出其极限值.

可推出若a=0, 则

, 即

单调递减. 由单调有界定理, 在不等式

存在, 记为a , 则

可知

矛盾.

两边, 令

由此可见a>0.再在不等式

中, 令

可得

, 即

, 解之得a=1.

上有界, 则f 在R 上有界.

有

对于任意

即

故

在R 上有界.

, 必存在惟一整数

5． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在

【答案】因为k

, 使得 6． 设

【答案】因

证明

在于是

上有界, 所以存在

使得对任意

正数h 的所有整数倍从小到大依次为:

由于h 是f 的周期, 因而

单调递增趋于无穷, 故利用Stolz 公式

得

二、解答题

7． f （x ）是以

（1）求函数

为周期的连续函数, 其傅里叶系数为

的傅里叶系数

,

;

（

2）利用题（1）的结果证明帕塞瓦尔（Parseval ）等式

【答案】（1

）

（

2）由题（

1

）得

, 在G （x ）中令x=0, 得

即

8． 计算

【答案】令

9．

设有一质量分布不均匀的半圆弧

求它对原点（0, 0）处质量为m 的质点的引力. 【答案】设引力系数为k , 则对任一点（x , y ）, 有

故

, 其线密度（a 为常数）,