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一、证明题

1． 设u （x , y）在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明:

其中

是u （x , y ）沿L 外法线方向n 的方向导数.

, 所以

因为

在D 上具有连续偏导数, 由格林公式得

故

2． 设f （x ）在[0, 1]上连续且满足

证明:

【答案】显然,

, 有

对上式从0到1积分, 得

在上式两边同乘以正数

, 得

最后一步的不等式是根据函数

3． 设pn , qn 如（8）式所定义. 证明:若

条件收敛. 则级数

与

【答案】若

收敛, 则由

可得

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【答案】因为

有最大值而得到的.

都是发散 的

.

又由故

条件收敛可得发散. 同理可得

发散.

收敛, 故收敛, 与题设条件收敛矛盾,

4． 证明:对任一多项式p （X ）, —定存在x 1与x 2, 使p （X ）在调.

【答案】设

当n 为偶数时, n-l 为奇数,

此时有时

, 严格递增.

当n 为奇数时, n-l 为偶数,

则时

,

令

, 则p （x

）在

与

, 当

时

,

于是, 在

与内分别严格单

, 则

不妨设

故存在

内p （x ）严格递减, 在

, 故

存在

,

使得当内p （x ）

, 使得

当

内分别严格递增.

二、解答题

5． 求

.

【答案】由分部积分可得

令

则

, 所以

故得

6． 设为正实数, 确定使A 的范围（要叙述过程）.

【答案】当当由

上有界可知, 尽管

在

不一致连续. 当

时, 取

,

时,

在

事实上,

当

时, X 显然在时, 因为

上一致连续.

上一致连续即可.

上不一致连续.

在[0, 1]上一致连续,

所以只要证明它在在

上一致连续的的范围以及使在不一致连续的

, 但是

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故在

上不一致连续.

7． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性:

【答案】（1）方法一 易知当由于即

时,

, 所以当n>e时有

在（

0, 1

）内单调递减且

于是

故方法二 因为时有

在（0, 1）内一致收敛.

的极限函数f （x

）=0, , 则

. , 因此对一切0

, 当, 于是

故

在（0,

1）内一致收敛.

时,

而

所以（3）令

由于

所以

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,

时恒有

,

. 取

,

则当n>N

（2）易知当

在[0, 1]上不一致收敛.