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一、计算题

1． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间

【答案】

2． 写出下列随机试验的样本空间：

（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；

（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；

（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.

【答案】

⑴共含有

（2）

（3）（4）（5）

个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.

共含有

个样本点.

共含有可列个样本点.

{黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红}. {黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白}.

是什么？

3． 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b ，c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率.

【答案】任意投掷此三角形，该三角形与平行线相交有以下三种情况：三角形的一个顶点在平行线上、一条边与平行线重合、两条边与平行线相交，由确定概率的几何方法知：前两种情况出现的概率为零，所以只要去确定两条边与平行线相交的概率，为此记ab ，ac ，be 与平行线相交的概率，则所求概率为

为求知

因为三角形的边a 与平行线相交意味着：ab 与平行线相交，或ac 与平行线相交；b 与平行线相交意味着：ab 与平行线相交，或be 与平行线相交；c 与平行线相交意味着：ac 与平行线相交，

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分别为两条边

由蒲丰投针问题，只要将两条边与平行线相交的问题转化为每条边与平行线

分别为三条边a ，b ，c 与平行线相交的概率，则由蒲丰投针问题

相交的问题，为此又记

或be 与平行线相交，所以有

至

此

我

们

得

，

三

角

形

与

4． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和

【答案】记

则

平

行

线

相

交

的

概

率

为

. 试求X 的特征函数, 并

它的前二阶导数为

由此可算得几何分布的期望和方差为

5． 已知某种材料的抗压强度下：

（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知

求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；

s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为

查表得，

因而的置信水平为95%的置信区间为

（2）在查表得，（3）此处，

因而

已知时，的置信水平为95%的置信区间为

，因而的置信水平为95%的置信区间为

取

，查表得

，

的置信水平为95%的置信区间为

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，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如

（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，

由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].

6． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.

【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为

这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.

7． 某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾客的消费额（元）服从（20, 100）上的均匀分布, 且顾客的消费额是相互独立的. 试求:

（1）该餐厅每天的平均营业额；

（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率. 【答案】记

为第i 位顾客的消费额, 则

, 所以

而该餐厅每天的营业额为

. 利用棣莫-拉普拉斯中心

（1）该餐厅每天的平均营业额为

（2）利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得

这表明:该餐厅每天营业额在23240到24760元之间的概率近似为0.90.

8． 设

来自贝塔分布族

的一个样本, 寻求（a , b ）的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

是充分统计量.

二、证明题

9． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

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是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人