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一、计算题

1． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位：小时），其密度函数为

试求平均维修时间. 【答案】

故其平均维修时间为50小时.

2． 设X 为随机变量，

其样本空间为

【答案】

的图示如图:

图

（1）

（2）（3）由于（4）由于

所以

所以AB=A，

故

故

记事件

写出下列各事件：(1)

(2)

(3)

(4)

3． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下：

表

1

试在显著性水平

下检验这批数据是否服从泊松分布.

【答案】本题与上题完全类似，仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为：

未知参数采用最大似然估计得：

将代入可以估计出诸

于是可计算出检验核计量

表

2

如下表：

若

取查表

知故拒绝域

为

. 上服从均匀分布, 记

由

于

故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为这批数据服从泊松分布.

此处检验的p 值为

4． 设二维随机变量（X , Y ）在矩形

求U 和V 的相关系数.

【答案】因为区域G 的面积为2, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

因此（如图）

图

这说明:又因为

所以U 和V 的相关系数为

所以

5． 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048, 从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为

问这一天纤度的总体标准差是否正常（取

）？

【答案】这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

此处n=5, 若取显著性水平查表知故拒绝域为

或

由样本数据可计算得到

因此拒绝，认为这一天纤度的总体标准差不正常.

6． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.

【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P（B ），因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用.

7． 从十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

（1）（2）（3）【答案】记

则

又因为（1）（2）（3）

所以

8． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试问X 与Y 是否相互独立？

（1）（2）（3）（4）