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一、证明题

1． 设

在

上可导，且

使得

【答案】用上例的思路来证明之. 令

以及

显然得一点

使

.

再在

如此下去，可以求出

在每一个小区间. 上，对即

亦即

将上式对

从到n 求和，可得

2． 证明:若

则.

为.

对任意

上连续，所队有

其中

依次进行下去，可知存在

使得

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为n 个正数. 证明在区间内存

在一组互不相等的数

•

取上对

•

在

. 使得

上对应用介值定理，可以求

使

总之，我们有

，使得

应用介值定理，

又可求得一点

应用拉格朗日中值定理，存在

上的连续函数，且对一切

有

'

在

有

其中

【答案】

显然

，

而对于上面的

上存在最大值M.

当又

时，有连续，所以

有

所以

对一切

3． 证明：闭域必是闭集，举例说明反之不真.

【答案】(1) 设D 为闭域，则有开域G 使

其中为G 的边界，设. 中为G 的余集即关于

下证

若不然，则存在

中含有G 的点Q , 于是因此②真，由①知

故不是D 的聚点，这就证明了：若为D 的聚点，则. (2) 例如

4．

设级数

与级数

都发散，

试问

与

因此D 为闭集.

是闭集，但不是闭域.

一定发散吗？又若与

都发散时，

_两级数均发散，但

又如，(2)

当

两级数均发散，且，均非负时，

则

和P 使

而由

与

非负有

由柯西准则知

发散.

5． 证明:若函数f 在区间上处处连续，且为一一映射，则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f

在上是单调的. 若不然，

则至少存在三个点

满足

但而

上应用介值定理，则存在

和

而

由

于f 是一一映射，所以上述不等式为严格的，即

注意到f 在上连续，对f 分别在区间

和

使得

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则

且

由知：对任意

其

的补集. 由于从而存在

于是当充分小时由于

从而

这与以上结论矛盾.

都是

F —定发散.

如即

收敛. 发散知存在

非负数，则能得出什么结论？

【答案】⑴

当

发散.

一定发散. 这是因为：

由

对任意自然数N ，总存在自然数

这与f 是一一映射相矛盾，所以f 是单调的.

再证明f 在上是严格单调的.

不妨设f 在上是单调递增的，则对任意的，故必有

有

注意到在上是一一对应

这表明f 在上是严格单调的.

二、解答题

6． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点使.

【答案】（1）f （X ）在

上连续，又因为

所以

在x=0右连续. 故f （x ）在

内连续

.

故f （x ）在（2）所以

时

，

函数f （x

）在区间内不存在使.

7． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

所围平面区域上侧在曲线的左侧；

其中L 为

所交的椭圆的正向；

其中L 是以

点的三角形沿ABCA 的方向。

【答案】(1) 记L 为曲面

的边界，由斯托克斯公式知

且

同理

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内可导，且根据罗尔中值定理，存在一点

使

在x=0不可导.

则

在

时

上不满足罗尔中值定理的条件.

当

所以

故

其中L 为与三坐标面的交线，它的走向使

为顶