2017年西南交通大学数学学院625数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
因为
所以
2． 设
【答案】
. 下证
是数列
(反证法) . 假设x 0不是数列因
为
对
则一定有
矛盾. 于是必有一个聚点。
3． 试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛，当
时级数发散，当
时，因为
因而级数发散，于是级数的收敛域为(-1，1) .
设
当
求证f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
时有
由根式判别法知
上连续，由
收敛，所以
的任意性知f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
在
上一致收敛，从而f (x )
在
的收敛域，并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性. 证明
试证：数列
的聚点，则存在
的聚点全体恰为闭区间
不含有数列
所以存在自然数来说，
或者
如若不然，则有
N ，
当或者
于是
时，
有
这是因为
.
这与
的即
不妨设
时，
有
于是
又因为
所以存在N ,
当
的一个聚点。
的任意一项. 这里
这说明B 不可能是数列的聚点. 矛盾. 因此，是数列
在(-1，1) 内非一致收敛.
事实上，设
取
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则
即
4． 证明
：
【答案】因为
所以
在(-1，1) 内不一致收敛于0，所以函数项级数
在(-1，1) 内非一致收敛.
所以
二、解答题
5． 设
【答案】对当
取
讨论
即
时，有
，
于是，由，
数存在； 记
当
时，因
可知
不能写成
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在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.
属于(0, 0) 的艰域
在原点处连续；
及
知
在原点处的两个偏导
的形式，即在原点处
不可微.
6． 应用对参量的微分法，求下列积分：
【答案】(1) 若
所以
同理
又因所以
因而
(2) 当因而
时
为连续函数，且具有连续导数，所以
故当当时，令
时
，
则
(常数) ，又
有
于是
从而
当
时，
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