2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 试决定曲线
点, 且点（-2, 4, 4）在曲线上。
【答案】根据题意有
即
中的a , b , c , d , 使得x=-2处曲线有水平切线, （1, -10）为拐
解此方程组得a=1, b=-3, c=-24, d=16。
2． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
，圆
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
由格林公式得
又
所以
；再沿圆周到点（2, 0）.
围成的平面区域记为D ，则
到点
图
3． 判定下列曲线的凹凸性:
【答案】（1）（2）当当（3）（4）故曲线
内是凹的。
时,
, 曲线
在故曲线
令y”=0, 得x=0。
上是凸的。 上是凹的。
, 故曲线
在
内是凹的。 ,
时, y”>0, 曲线y=shx在,
内是凸的
4． 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体. 问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?
【答案】设矩形的一边长为x ，则另一边长为p-x ，假设矩形绕长为p-x 的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
由
求得驻点为
。
和时，绕
由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为短边旋转所得圆柱体体积最大.
5． 设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角是
【答案】已知∣r ∣=4，则
，求r 在u 轴上的投影.
6． 已知f （x ）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系
式
，且f （x ）在x=1处可导，求曲线y=f（x ）在点（6, f （6））
处的切线方程。
【答案】由f （x ）连续，令关系式两端x →0，取极限得又而
故由于
于是
，即（6, 0）处的切线方程为因此，曲线y=f（x ）在点（6, f （6））即
7． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域为
，
。
（l ）设向导数的最大值为
也就是说，要在D 的边界线定攀岩起点的位置.
【答案】（l ）由梯度与方向导数的关系知，
在点
处沿梯度
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
（2）欲在D 的边界上求g （x ，y ）达到最大值的点，只需
求
达到最大值的点. 因此，作拉格朗日函数
小山的高度函数
为
，问f （x ，y ）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方，试写出
的表达式.
上找出（1）中的g （x ，y ）达到最大值的点. 试确
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，