2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 判定函数
【答案】
且
的单调性 仅在
时成立, 因此函数
在[0, 2π]
上单调增加。
2． 按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性：
（1）（2）
有
故
取
当n>N时，对一切
即该级数在（2）有和函数
且取一列使得
3．
设
（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：
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【答案】（1）此级数为交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件。
有
上一致收敛。
其部分和函数
于是对
不论n 多大，总有
因此，该级数在开区间（0, 1）内不一致内敛。
其中a , b 为常数，又
设
【答案】（1）由题意得
由
，得
（2）令
故
即g （x ）满足微分方程①，又
故g （x ）也满足初始条件②。 因此
4． 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线密度为
上一段弧
与直线
所围成，它的面
，即
。
。求这薄片的质量。
，即
【答案】薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域D 上的二重积分（图）
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图
5． 求出曲线
【答案】因为量可取为即
，解得
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
和
，于是所求点为
。
，
。
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
6． 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数，指出其周期:
（l ）（2）（3）（4）（5）
。
。
【答案】（l ）是周期函数，周期（2）是周期函数，周期（4）不是周期函数。 （5）是周期函数，周期
7． 求函数
【答案】
在点
。
（3）是周期函数，周期T=2。
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由方向导数与梯度的关系可知，
在处沿
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的方向增加