2018年山西农业大学动物科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
2． 设线性方程
m
则
即A
相似于矩阵
试就讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，如下
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（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（4）当
即
3．
设n 维
列向量
【答案】记
时
此时方程组无解
.
线性无
关，其中S
是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
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4．
已知其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
二、计算题
5．
设
【答案】
是一组n 维向量，已知n
维单位坐标向量线性无关.
可由
线性无关
线性表示
能由它们线性表示，
证明
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