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一、解答题

1．

已知三元二次型

（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,

即值

，

由征向量.

因为

是

的特征向量.

是

1的线性无关的特

，由此可知

是A 的特征

其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足

其中

可知-1是A 的特征值

，不正交，将其正交化有

再单位化，可得

那么令

则有

（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,

得

2．

已知实二次

型的矩阵

A ，满

足且其

中

（Ⅰ）用正交变换xzPy

化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由由

知，B

的每一列

满足

的具体表达式

.

知矩阵

A 有特征值即

是属于A 的特征值

.

则

与—

j

正交，于是有

令

的线性无关特征向

显然B 的第1,

2列线性无关

，

量

，从而知A

有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

（Ⅱ）由于

则由正交变换

故

化二次型为标准形

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故二次型 3．

设

为三维单位列向量，并且

记

证明

：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0

有非零解

；

（Ⅱ）A 相似于矩阵

则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ

）由（Ⅰ）知向量

.

又且

另外，由

故可知

为A 的特征值，

为4

的2

重特征值，

为对应的特征向量.

为A 的3个

为

4的单重特征值.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

【答案】（Ⅰ）由于A

为3

阶方阵，且

为两个正交的非零向量，从而线性无关.

故

线性无关的特征向量，

记

4． 设矩阵

则

即

A 相似于矩阵

求一个秩为2的方阵B. 使

【答案】令即

取.

进而解得的另一解为则有.

的基础解系为：

方阵B 满足题意.

令