2018年山西大学山西大学生物工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
3．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
故所求的方程组可取为有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
解得此方程组
将
代入得，
构
矩阵
且为可逆矩阵，
且方程组
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
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4． 设线性方程
m
【答案】对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
作初等行变换，
如下
（1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（
2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多
可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数
. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（
3）当（4）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题
5． 设
D 的（i , j ）元的代数余子式记作
求
【答案】
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求
6． （1
）设
（2
）设
求
【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵
⑴由
求得A
的特征值为对应
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量
对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得单位特征向量令
则P 是正交阵，且有
（2）这是求矩阵A 的多项式的问题.A 的特征多项式
于是A
的特征值
因为A 是对称阵，
则存在正交阵也即
使