2017年宁夏大学数学基础(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
（6）原方程分离变量，得
，两端积分
第 2 页，共 19 页
，分离变量得
，即
。 ，积分
得
，即通解
为
，
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解，得
可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为（10）原方程分离变量，得
或写成
，分离变量，得
，
或写成
，两端积分，得
, 两端积分，得
，两端积分，得
即或写成，故原方程的通解为。
2． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
第 3 页，共 19 页
图
两端积分，得
于是
代入（s ）。 3． 设又
【答案】由
，其中，求函数值
可得
由对称性可知
又
，则
第 4 页，共 19 页
，代入初始条件：t=0，h=0，得
，即得，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
，。
二阶可导，，
相关内容
相关标签