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一、证明题

1．

求证：

(1)

(2)

【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理，存在

使得

(2) 设

. 则有...

所以

故有结论得证.

2． 设

在

上可微，且

证明：在

【答案】令

则

由

于

，因

此

为

上的单调递减函数，

从而可知

即

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所

以

3． 若

的收敛半径为

且

收敛，则

也收敛，且

【答案】因为

所以

因为

且

收敛，所以

在[0，A]上一致收敛，故在[0，A]上可逐项积分，因而

因

关于A 在

成立，而

上一致收敛，由和函数的连续性知

4． 设

在[0, 1]上单调増加，

不成立，那么显

然

由于

在

使得于是

与单调性矛盾，因此假设不成立. 即证得

不妨

设

是连续函数，则对于任意的

则

对存

证明

：

收敛，

因此

【答案】设

显然M 是非空的，下证_用反证法，假

设

二、解答题

5． 设流

速

【答案】(1) 圆由于

故所求的环流量为

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为常数) 求环流量:(1) 沿圆周

. 的向径适合方程

(2) 沿圆

周

(2) 对圆周由于

故所求的环流量为

6． 求

型的不定式，都非常复杂，但用等价无穷小量替换可使

有

【答案】该题无论是化成

型还是问题简化. 因为

所以原极限

7． 设

其中A ，a ，b 为常数，试问A ，a , b 为何值时，【答案】.

故要使

又

要使有导数存在，必须b=0.

处可导? 为什么？并求

存在，必须A=0.

综上可知，当A=b=0为任意常数时，f （x ）在z=0处可导，且

8． 将定义在设

（1）

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上的函数，延拓到R 上，使延拓后的函数为（i ）奇函数；（ii ）偶函数.