2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设f (x ) 在
上具有连续二阶导数，又设
则在区间
内至少有一个点
使
【答案】
由泰勒公式有
其中
甶0与x 之间
.
而f (0) >0，由介值定理，至少有一点使
二、解答题
2． 计算下列反常积分的值：
【答案】
（4）令
则
由（3）的结论得
3． 求下列函数的极值点：
【答案】(1) 解方程组
得稳定点(a ，a ) ，(0，0) ， 由于
所以(a , a) 为极大值点，
所以(0, 0) 不是极值点， (2) 由
得稳定点(1, 0) ，
故函数f (x ，y ) 在点(1，0) 取得极小值. (3) 解方程组
得稳定点由于
所以
4． 设
求证： (1) (2)
存在；
在(0, 0) 点不连续；
同样因f (0, y ) =0, 得
为极小值点.
(3) f (x , y ) 在(0, 0) 点可微. 【答案】(1) 因f (x , 0) =0，所以(2) 容易求出
令y=x,
故
在(0，0) 点不连续. 同理可知
在(0, 0) 点不连续. (3) 由于以
按微分定义，函数在(0, 0) 点可微，且df (0, 0) =(0, 0) 或是可微的充分条件，不是必要条件.
5． 计算下面的三重积分：
⑴(2) 其中
则
(2) 作新坐标系换(
从坐标系
使轴过点
且使坐标系
到坐标系
之间的变换为正交变到坐标系则由(1) 知
是有界变量，当1时，x 是无穷小量，所
可见偏导数连续
【答案】(1) 作柱坐标变换：
坐标系可通过旋转变换来实现，因此从坐标系之间的
正交变换是存在的) ，变换的行列式为1.
显然该变换将半径为R 的球仍变为半径为R 的球. 记