2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是具有二阶连续偏导数的函数，证明：
其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是
沿曲线L 的外法线n 的方向导数.
【答案】在格林公式中，以P 代替
代替P 得
其中n 是L 的外法线方向. (1) 在
中令
则得
即
(2) 在
中，令
则得
即
(c ) 式减
式得
二、解答题
2． 求下列不定积分：
【答案】
3． 求方程
【答案】
设
增. 由于
的根的近似值，精确到
因为
于是取
现估计近似
根迭代。
由于已经精确到 4． 应用
【答案】在任何
内一致收敛
.
所以
则
5． 下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：
(1)
(2)
所以
在
上严格递
内，在此区间上，
所以实根在区间
的误差
.
故
在上的最小值
为
而
不满足精度要求，继续
所以
故取近似根
(3) (5) (7)
(4)
(6) (8) (
.
：
【答案】 (1) 因为(2) 因为
时) ，而收敛，所以原级数绝对收敛.
由级数收敛的必要条件知原级数发散.
(3) 根据p 的取值范围讨论. 设
时，因时，
因
发散，即原级数在
时，记
则
不存在，故原级数发散
.
而此时
收敛，故p>l时原级数绝对收敛，且
时
时不是绝对收敛
.
则当x 充分大时从而当n 充分大时数列单调递减，又故由莱布尼
茨判别法知原级数收敛且为条件收敛.
(4)
记因
而
发散，故原级数不是绝对收敛.
又因
为单调递减数列且
故由莱布尼茨判别法知原级数条件收敛.
(5) 因数列以原级数发散.
(6)
记
因
故可
知所
以
所以(7) 记
(8) 记
则
故当当
1时原级数绝对收敛；
时，
从而原级数发散.
为单凋递减数列且
因
由莱布尼茨判别法可得原级数条件收敛.
故原级数绝对收敛.
发散，即原级数不是绝对收敛.
又记时
，
为单调减函数，
又
单调递减且
所以级数
收敛，又
发散，且
所