2017年湖北省培养单位武汉物理与数学研究所801高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 过直线
且平行于曲线【答案】
【解析】由题意设所求平面为
在点
处的切线的平面方程为_____。
即
在曲线的两边对X 求导数得。
将点故曲线在即解得 2． 已知
【答案】
代入，解得，
。 。
处的切线的方向向量为
由题意知，所求平面的法向量与切线的方向向量垂直，
，故所求平面方程为。
是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为_____。
2
因为由叠加原理知x-1与x -1是非齐次方程对应的齐次方程的解，且它们是线性无关的，于
是根据线性方程通解结构得出以上结论。
3． 设曲线
【答案】-2 【解析】由条件可知
，故
和
在点（0, 1）处有公共的切线，则
=_____。
4． 微分方程
【答案】
这是一个齐次型方程，
设
代入可得特解为
得到通解为
满足的解为_____。
【解析】
方程的标准形式为
C 为任意常数，再将初始条件
5． 设
【答案】2011 【解析】级数
，则级数
的和为_____。
的部分和数列为
则
6． 由曲线量为_____。
【答案】
绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点
处指向外侧的单位法向
【解析】根据曲线绕y 轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为
而旋转曲面上任意一点其中故在点
将其单位化，得
处曲面指向外侧的法线向量为
处的切平面的法向量为
二、计算题
7． 求曲线
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离
计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
.
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
8． 求曲线
在点
处的切线方程和法线方程。
，在曲线方程两端分别对x
【答案】由导数的几何意义知，所求切线的斜率为
求导，得，从而
，
，
于是所求的切线方程为即
法线方程为即x-y=0
9． 将函数
【答案】作
是f （x ）的奇延拓，令
在z=2kπ（k ∈Z ）处间断，又在收敛于f （x ）。
是上
展开成正弦级数。
的周期延拓，则
因此
满足收敛定理的条件，而的傅里叶级数在
上
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