2017年武汉大学数学与统计学院873线性代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数确定飞机的降落路径。
的图形，其中
试
【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知
为使飞机平稳降落，尚需满足
解得
，其中L 是：
上从点（1，1）到点又（4，2）的一极弧；
故飞机的降落路径为 2． 计算
（1）抛物线
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；
，然后再沿直线到点（4，2）的折线; （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2）（4）曲线
上从点（l , l ）到点（4, 2）的一段弧。
，y 从1变到2，则
（2）L 的方程为有
（3）记L 1为从点（1，1）到点（1，2）的有向线段，L 2为从点（1，2）到点（4，2）的有
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【答案】（1）化为对y 的定积分。
，即，y 从1变到2。化为对y 的定积分计算，
向线段。则L 1: x=l，y 从1变到2;
，x 从l 变到4。在L 1上，dx=0; 在L 2上，dy=0。于是
因此
（4）由
，可得t=0；由
可得t=1。因此
3． 求过（1，1，﹣l ），（﹣2，﹣2，2）和（1，﹣1，2）三点的平面方程.
=0得x －3y －2z=0，即为所求平面方程.
【答案】由
4． 设a ，b ，c 为单位向量，且满足a ＋b ＋c=0，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a.
【答案】已知∣a ∣=∣b ∣=∣c ∣=1，a ＋b ＋c=0，故（a ＋b ＋c ）（a ＋b ＋c ）=0.即
·
因此
5． 求曲线y=ex 在点（0，1）处的切线方程。
【答案】
，即x-y+1=0。 故曲线在（0，1）处的切线方程为y-1=1·（x-0）
6． 己知水渠的横断面为等腰梯形，斜角
【答案】由题意知
又
所
以
。
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。当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿
周L （L=AB+BC+CD）与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
，因此湿周函数的定义域
为
得
，而h>o
且
7． 设f （x ）可导，求下列函数的导数。
【答案】（2）
8． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。
，
二、证明题
9． 设
【答案】
故
10．试证明以三点A （4, 1, 9），B （10, ﹣1, 6），C （2, 4, 3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
【答案】由
知∣
∣=∣
∣及∣
. 故△ABC 为等腰三角形.
，其中f （u ）为可导函数，验证
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