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一、计算题

1． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.

（1） （2） （3） （4）

【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为

，边界为

.

（3）集合是开集，区域，无界集；导集为

（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为

2． 画出下列各曲面所围立体的图形：

（1）抛物柱面（2）抛物柱面（3）圆锥面（4）旋转抛物面

【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示； （4）如图4所示.

，平面z=0及

及旋转抛物面，柱面

；

；

，平面z=0及x=1.

，平面y=0, z=0及x ＋y=1；

，边界为

.

（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为

;

. . ，

边界为

; ;

图1 图

2

图3 图4

3． 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心.

【答案】如图所示，按题设，面密度

. 由对称性知

。

图

因此，所求质心为

。

4． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？

【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为

，记γ为水的密度，则作功为

5． 在抛物线y=x2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?

【答案】割线的斜率

2

即2x 0=4， 故x 0=2，

假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有由此得所求点为（2，4）。

6． 设螺旋形弹簧一圈的方程为

，求：

（1）它关于z 轴的转动惯量I z ； （2）它的质心。 【答案】（1）

，其中，它的线密度

（2）设质心位置为

。