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一、证明题

1． 设

证明

【答案】方法一令 变换的雅可比行列式为

所以

方法二因

对内层积分作定积分变换

2． 证明:

【答案】(1) 由

的递减性，有

即

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则

从而有

依次相加得

由左边不等式，得

由右边不等式，得

综合两式有

(2) 由(1) 有

而

于是由迫敛性定理有

3． 设

在

上连续，在

内二阶可导，证明：

【答案】记

则过三点

的抛物线为

令而

又

由

立即可得出结论.

则

故存在

使

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4． 证明：设f 为幂级数项，若f 为偶函数，则

【答案】由当

为奇函数时，

在上的和函数，若f 为奇函数，则级数

仅出现奇次幂的

仅出现偶次幂的项.

又

故此时有

当

为偶函数时，

又

5． 设函数f 在(a , b ) 上连续，且

【答案】在(a , b )

内任取一点

使得

同理，存在

时有

使得当

时，有

由f 在(a , b ) 上连续可知，f 在区间在

上有最小值点

即存在

上连续，由闭区间连续函数的最值定理知，f

对一切

都有

由式①，②，③知，f 在(a , b ) 内能取得最小值.

因为

故此时有

证明f 在

取

内能取到最小值.

则存在

，

二、解答题

6． 求下列函数的极值：

【答案】

的稳定点为值为

由

得稳定点

为

因

故

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由

和

因为

由极值的第二充分条件知，

在

即得在

处

处取极大值，极大

由极值的第三充分条件知，

不取极值。因为

是的极大值点，极大值为