2017年南开大学生命科学学院845普通生态学考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 3． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D.
=（ ）.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
【答案】（C ） 【解析】设
【答案】C 【解析】因为
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 设
都是线性空间V 的子空间，且
=维
=r, 可取故它是
的一组基
证明：如果
的维数和因
的维数相等，
那么这也是
中r 个线
【答案】设维性无
关的向量，因维
7． 已知3阶矩阵A 的第一行是（a , b ，c ），a ，b ，c 不全为零，矩阵且AB=0, 求线性方程组AX=0的通解.
【答案】由于AB=0, 故
当k ≠9时，r （B ）=2, 于是r （A ）=1;
当k=9时，r （B ）=1，于是r （A ）=1或r （A ）=2. 对于
由AB=0可得
由于是AX=0的通解为
其中
线性无关，故为任意常数.
为AX=0的一个基础解系，于
又由a ，b , C 不全为零，可知
，（k 为常数）
的基. 因此
对于k=9，分别就r （A ）=2和r （A ）=1进行讨论. 如果r （A ）=2, 则AX=0的基础解系由一个向量组成. 又因为
所以AX=0的通解为
为任意常数.
如果r （A ）=1，则AX=0的基础解系由两个向量构成，又因为A 的第一行为（a , b , c ）, 且a , a , c
不全为
其中
0, 所以
AX=0
等价
于
不妨
设
由
于
是AX=0的两个线性无关的解，故AX=0
的通解为
为任意常数.
8． 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
（1）次数等于法；
（3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； （4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
（2）设A 是一个n ×n 实矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘
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