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一、计算题

1． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为

，与n 无关.

又设为“有n 个红球时，白球比黑球出

•

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球”容易看出:事件A ，B , C 互不相容，且现得早”，记

（2）设其中

. 以下对n 用归纳法:

，则

»

，代入可得

由归纳法知结论成立.

2． 由正态总体

【答案】因为用

表示服从

抽取容量为20的样本，试求

所以

的随机变量的分布函数值，则

利用统计软件可计算上式. 譬如，可使用在命令行输入直接输入这里的

则给出

输入则一次性给出

软件计算上式:

则给出

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着:第一次就取出白球，所以有

就表示自由度为k 的分布在x 处的分布函数值. 于是有

3． 某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件，定义三个随机变量

如下

试求随机变量【答案】因为

和

的相关系数

所以有

由多项分布可导出

的联合分布列如下

表

1

譬如，

表

2

所以

由此得

4． 若

试证

为从分布族

为充分统计量.

中抽取的简单样本，

由此获得乘积

的分布列

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知，

为充分统计量.

5． 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发现其中有10条鱼有记号. 问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？

【答案】设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X ，则X 服从超几何分布，150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率

其中，N 表示湖中的鱼的条数，是未知参数. 似然函数为

考察相连两项比值

当且仅当N ＜15000时，因此，只有在N=15000时，

计.

6． 设随机变量X 与Y 的概率分布分别为

表

1

表

2

且（2）求

.

的概率分布；

, 所以

.

的概率分布；

；当且仅当N>15000时，

，

达到最大. 这里的N=15000即为湖中鱼数的最大似然估

（1）求二维随机变量（3）求X 与Y 的相关系数【答案】 （1）因为即

利用边缘概率和联合概率的关系得到

;

即

的概率分布为

表

3

（2）Z 的所有可能取值为-1, 0, 1