2017年哈尔滨工业大学深圳研究生院831高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 按定义计算行列式：
（1 ）
（2）
（3）
【答案】（1）原行列式（2）（3）
.
除佘式为x+1，被
2． 求一个次数最低的实多项式，使其被
，h （X ），使得
【答案】设f （x ）为所求，由带余除法定理知，存在多项式g （x ）
，得显然令取x=i代入（1-18）于是a=3，b=l.直
接验证可知
为所求.
3． 设性无关，则交
其中
的维数等于齐次线性方程组
的解空间的维数. 【答案】由假设知，
维数为S ，
维数为t. 又因为
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均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线
故由维数公式得
由于（5）是
元线性方程组，又
=方程组（5）系数矩阵的秩，
故由（6）知，
4． 证明：
【答案】记于是
若f （x ）有重数大于2的非零根必须是
与
的公共非零根，因此所以
5． 设
求证：
【答案】用反证法.
如果（x ）有一个不可约因式，设为
能整
除
中的一个，
设为
于是
中的一个，设
为
因此
同
理
由于
这时两个多项式是互素的，不可能有公共根.
不可能有重数大于2的非零根.
都是多项式，而且
则d
根据不可约多项式的性质
，
整
除
与假设矛盾. 所
的公共非零根. 因此必须是
维数=（5）的解空间维数. 不能有不为零的重数大于2的根.
以
6． 证明：复数域上方阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式没有重根.
【答案】设若
无重根，则因为
子都是一次的，设为
其中
互异. 令
为
的不变因子，则由定理知，
故每个
是A 的最小多项式.
的初等因
都不能有重根，从而
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则
因此，A 与
相似，即A 可对角化.
.
即A 的最小多项式不能有重根. 证明：
反之，若A 与对角矩阵相似，则由于对角矩阵的特征矩阵的初等因子都是一次的，故的初等因子也都是一次的. 从而的不变因子
7． 设T ，S 为线性空间V 的两个线性变换且
①②
【答案】①设故有因此，反之，设故②设故从而
因此，ST=S。同理，有TS=T 反之，设TS=T，ST=S.则任取故同理，
故
则
故
则 即
任取
使
但因为同理，有
则任取
得
，有同理（S 与T 地位相当）
则任取
故
得
8． 设A ，B 是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则
（1）（2）设
的根全为实根. 的根为
这里
因为
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且求证：在约束条件下
的最小值和最大值分别为
【答案】（1）由B 正定，A 实对称，存在实可逆矩阵P ，使得