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一、解答题

1． 求下列函数的麦克劳林级数展开式:

（1）

（2）.

【答案】（1）

设

又

所以

〔2）

故

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得

2． 设在区间

在上具有连续二阶导数, 又设内至少有一个点

使

则

【答案】由泰勒公式有

其中在0与x 之间

.

而

由介值定理, 至少有一点

使

3． 作极坐标变换, 将二重积分

化为定积分, 其中【答案】如图所示:

•

图

令

, 则

4． 利用微分求近似值:

（1）（2）（3）（4）

.

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【答案】（1）令则

即（2）令

由（3）令所以

. ,

,

,

,

,

, 则

得

, 则

（4

）所以 5． 设

【答案】由又

在

,

令

.

, ,

则

, ,

计算积分

而

上连续, 从而由定理知

收敛可得级数

一致收敛.

6． 设f （x ）在（x ）

在点（x , f （x ））的切线在x 轴上的截距, 试求极限

【答案】利用切线方程求出

.. 将f （u ）在x=0作泰勒展开:

（在0与u 之间）.

（这里利用了当

时

,

这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是

对

和

使用洛必达法则, 可得在

上可导. 若存在

使

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上二次连续可微

, 且. 又设u （x ）表示曲线y=f

. 故原极限=

7． （1）设