2018年郑州大学联合培养单位许昌学院655数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f （x ）在区间
【答案】
记贝
!J
.
,
故
, 有, 使
故
2． 证明定理: 数列
, 即
收敛于a 的充要条件是:
的极限是1. 为无穷小数列, 则
按照数列收敛的定义, 数列
于是, 对任意收敛于a.
时
,
即
存在N , 使得
当
存在N , 使
即
于是, 数列（2）因为
3． 证明函数
在区间
上不一致连续, 但是对于任意
则
上不一致连续.
则存在
取但是存在
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上有界, 则
若M=m, 则f （x ）为常数, 等式显然成立. 设m 另一方面 由上、下确界的 定义知, 分别存在 从而由上界确定义知 为无穷小数列. 并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当 时, 必要性, 设数 列 收敛于a , 那么, 对任 意 为无穷小数列. 收敛于0, 即 是无穷小数列, 所以 在上一致连续. 【答案】（1）方法一取从而 在区间 方法二 取虽然满足 专注考研专业课 13年，提供海量考研优质文档！ 使得（2）当 时, 从而在区间当 上不一致连续. 时, 有 取即 在 时, 有 上一致连续. 4． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定: （1）设（2）设（3）设（4）设可导. 而题设矛盾. （3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误. 如取在 不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导. , 则 在 可导. （狄利克雷函数）, 则 处处可导. 但 与 , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导; , 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导; , 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导. , , 则 , f （x ）在 处 在x 0=0处都不可导. 在x 0也可导. 这与 【答案】（1）命题错误. 如取 （2）命题正确. 反证法. 假如 f 在点x 0可导, 又因在点 x 0也可导, 则 二、解答题 5． 求下列由参量方程所确定的导数 （1）（2）【答案】（1）故 当 时, 第 3 页，共 32 页 处 处 专注考研专业课13 年，提供海量考研优质文档！ （2 ）故 6 ． 若一元函数 在[a, b]上连续 , 令 试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性. 任取且因此当 于是f （x , y ）在点由于 因为时, 有 且 时, 处连续, 因而f 在D 上连续. 下面讨论f 在D 上的一致连续性 : 在[a, b]上连续, 从而一致连续. 存在 使当 且 因此, 当 故f 在D 上一致连续. 7． 设 （2）证明E （k ）满足方程【答案】（1） 易证 故有 第 4 页，共 32 页 在[a, b]上连续 , 从而对x 0连续, 对任给的 存在使当 于是对任给的时, 有 时, 有 且 从而 其中0＜k ＜l （这两个积分称为完全椭圆积分） . （ 1）试求 E （k ）与F （k ）的导数, 并以E （k ）与F （k ）表示它们; ①
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