当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:若f , g均为区间I 上凸函数. 则

【答案】因为f , g 均为区间I 上的凸函数, 所以对任意的

也是I 上凸函数.

及

, 总有

, ①

, ②

由于于是

③

④

由式①〜式④得

即

2． 设a 为有理数, x 为无理数. 证明:

（1）a+x是无理数; （2）当【答案】（1）用反证法. 假设矛盾. 故a+x是无理数.

（2）用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数, 所以

是有理数. 这与x

是无理数矛盾. 故ax 是无理数.

3． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

中任意一子列的极限.

中至多只含有

为闭区间

的一个（无限）开覆盖,

则在

中必存在有限

时, ax 是无理数. 是有理数, 那么

也是有理数. 这与x 是无理数

, 故F （x ）是I 上的凸函数

. 因而

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

根据的构造性质可知, 中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

项,

这与

中

,

矛盾,

所以结论得证.

4． 设

证明

【答案】因为

f 为时的无穷大量, 所以对任意的

, 存在使得当

有

又因为

不妨设

则由函数极限的局部保号性知

.

内

,

取

则当

时,

故

二、解答题

5． 求极限:

其中

【答案】由极限的运算性质知

6

．

设函数p

（x ）在[a, b]上非负连续, f （

X ）, g

（x ）在[a, b]上连续单调增加, 则

【答案】用重积分来证明. 考察差

交换积分变量x 与y 的位置, 仍然有

于是有

时. 在

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

从而原不等式成立.

7． 设函数

【答案】

8． 设f （x , y ）在区域

其中

【答案】

任取

时, 有

又由, f 对y 满足利普希茨条件, 对上述

取现取

则当

时,

所以f （x , y

）在点 9． 利用

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）

, 求

上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件:

为常数, 试证明f 在G 上处处连续.

对固定的

在X 0连续,

于是对任给

存在

当

:

则当

" 时, 有

处连续, 由点求下列极限:

的任意性知: f（x , y ）在G 内处处连续.