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一、证明题

1． 设

【答案】要证

即只要证因

故

证明只要证即证

因此只要证由

知

这表明 2． 设

在

即只要证知

，

；

单调增加，假

如因此

矛盾.

证毕.

使得，则

在

上连续.

有上界，

则

必有极

限

由

单调増加、没有上界，因此上续，则取知

证明：对任意正整数n ，存在即可. 若

令

【答案】若

由

若若

，则

取不全为0, 则必有两点

中任一点即可；

使得

由根的存在定理，

使得

•即

3． 在R 上二次可导，

证明：

在R

上恰有两个零点.

【答案】先证当因为

所以，当x 的绝对值足够的大的时候，不妨设当当同理，当由又由于 4． 证明

【答案】令

则

所以

5． 试确定函数项级数

【答案】由于

所以当

时级数绝对收敛，当

时级数发散，当

时，因为

因而级数发散，于是级数的收敛域为(-1，1) .

设

当

求证f (x ) 在(-1，1) 内连续

.

时有

由根式判别法知

上连续，由

收敛，所以

的任意性知f (x ) 在(-1，1) 内连续.

的时候，

.

时，

时，>的时候，可知

.

先单调减少，再单调递增.

各有一个零点.

为递增函数。所以

根据连续函数的零点存在定理知，

其中

的收敛域，并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.

在上一致收敛，从而f (x )

在

在(-1，1) 内非一致收敛.

事实上，设

取

则

即

在(-1，1) 内不一致收敛于0，所以函数项级数

在(-1，1) 内非一致收敛.

二、解答题

6． 设

（1）证明：【答案】（1）当（2）因为由导数的定义得

取

则

于是对任意的

总存在

使得

所以

在极小值点

处

不满足第一充分条件。又因

故

7． 求函数及它们的模.

【答案】

于是

是极小值点；

处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。

而

所以

在

故连续. 当

是时，

的极小值点

时

，

（2）说明f 在极小值点

在极小值点处也不满足第二充分条件。

在点

及点：

处的梯度以