2017年大连交通大学理学院814数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数项级数
(1) 证明此级数在(2) 求其和函数.
【答案】(1) 对每一个固定的x>0, 有
利用正项级数的比较判别法知，但由于致收敛.
(2)
设
由于级数的通项出. 因此，如果级数(1) 知，
在
在
是以
为公比的几何级数，其和可以求
上收敛. 所以级数
上不一
上收敛但不一致收敛；
上满足逐项求导定理的条件，那么S (x ) 便可求出. 但由
在
上考虑上述问题
.
显然
在
上有连
上不满足逐项求
上不一致收敛，也就是说
导定理的条件. 为了克服这一困难，
我们在缩小的区间
使
续的导数. 由
记
知，于是可得
特别地，
由
的任意性，
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在上一致收敛. 因此，在上可逐项求导，
都有
2． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。
【答案】设
收敛，令于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件.
如果集合
只含有有限多个不同的实数，则从某一
的极限.
如果集合
至少
中
都含有集合
于是，对任给的
存在正整数N , 使得当
时，
有
项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点
假如
无限多个点. 这与取
整数N ，当对于任意使得
有两个不等的聚点
存在正时，有存在N , 使得当因而，当
时，
故数列
收敛于
时，
矛盾. 故不妨设
令
则与
含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合
的聚点是惟一的，记之为 又因为是
的聚点，所以存在
二、试解下列各题
3． 设
【答案】三方程分别对求偏导数，得
解之得
同理，三方程分别关于
求偏导数，则可解得
4． 求极限
【答案】方法一：令
则有
当
Wt ，
故有
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因此方法二：当
时，是无穷小量
.
由此即得
5． 在
上给定
及函数
证明：无界函数【答案】作的剖分
在上可积.
令
则
为了估计上界，把分成三类：以(0, 1) 为心，以5为半径的圆记作U , 整个落在U 内的作第一类； 不完全落在U 内的整个落在
，要么整个落在正方形
上，归作第三类. 容易看出
令
得
故
归
内，归作第二类；要么
6． 设有半径为r 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为在圆心处有一单位正电荷. 试求它们之间作用力的大小。
【答案】如图所示，
在处，
从到
正电荷在垂直方向上的引力为
故导线与电荷的作用力为
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的一段导线的电量微元为它对圆心处的单位