2017年大连海事大学数学系602数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】由
知
且
又因为
有下界的. 所以，
数列边求极限，得到
2． 证明：若地成立，即对任意
【答案】先证由于
又由于
都有
从而
即再证
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证明：数列收敛，且其极限为
即
收敛. 令
解得
在
由
或
且时
，
收敛.
在
时一致收敛，
因此任给
存在N ，
对一切
知
数列是单调递减
两
(极限保号性) . 对
舍去负根，因此
对任何对一切
时一致收敛于
当
一致
成立，则有
，存在
和一切
都有
对任何
一致收敛于因此对存在X ，对一切
和
收敛.
考虑
由
一致收敛于
知，任绐
存在
对一切
由
收敛，对上述
对
从而有
综合上述，对任给的
3． 设
存在对一切
，有
是具有二阶连续偏导数的函数，证明：
存在
对一切
有. 和有
由
取
和一切
有
存在X ，对一切
其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是
沿曲线L 的外法线n 的方向导数.
【答案】在格林公式中，以P 代替
代替P 得
其中n 是L 的外法线方向. (1) 在
中令
则得
即
(2) 在
中，令
则得
即
(c ) 式减
式得
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4． 设
是[a, b]上非负连续函数，
在[a, b]上点态收敛于u (x ) . 证明：u (x ) 在[a, b]上
一定达到最小值.
【答案】记在点列
且
下证：
由
在点
处的连续性知，
当
由于
递增，故更有这样便有
这与
5． 设函数
相矛盾.
具有连续的n 阶偏导数，试证：函数
【答案】应用数学归纳法证明.
当且
设
成立，则
所以，对一切的n ，
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则
使
使
递增趋向于u (x ) ，且由致密性定理知，
设则存不妨设
存在收敛子列，仍记为
反证法 若不然，则由
时，有
知，
使
于是存在适当大的k ，
使
的n 阶导数
时，