2018年青海民族大学物电院742高等数学之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
即
时
此时方程组无解.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
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【答案】
⑴由可得
，
则矩阵
解得
B 矩阵的特征值为
：当
时
，解
得对应的特征向量为
当时，解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为：
将
单位转化为：
. 令
X=Qy,
则
. 求
3．
已知
且
【答案】由题意知又又
知
即
得
故
知
故
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4．
已知
对角矩阵.
是矩阵的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
二、计算题
5．
设
，
，
，
线性相关.
其中
，证明向量组
线性相关.
【答案】
方法一、由定义，
知向量组
方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：
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