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一、解答题

1．

设

（1）计算行列式∣A ∣；

（2）当实数a 为何值时，

线性方程组【答案】

有无穷多解？并求其通解.

若要使得原线性方程组有无穷多解，

则有及得

此时，

原线性方程组增广矩阵为

进一步化为行最简形得

可知导出组的基础解系为

非齐次方程的特解为

故其通解为k 为任意常

数.

2．

已知

其中E

是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵

，

求矩阵A

【答案】

对

作恒等变形，

有即

由

故矩阵可逆.

则有

以下对矩阵做初等变换求逆，

所以有

3． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

求

是3维非零列向量，若线性无关；

令

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

线性无关.

且非零可知，是A 的个

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

故 4．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为

即得到线性方程组

若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B.