2018年内蒙古大学经济管理学院832经济学基础之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
2．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
3． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ;
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
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是A 的特征向量，于是
A 属于特征值-1的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ）由
4． 已知A 是
知
故
的基础解系是
与
由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时
，解出
因此，Ax=0与Bx=0的公共解为
其中t 为任意常数.
线性表出，也可
有非零公共解，
求a 的值并求公共解
.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，
有
又知齐芄中
不
矩阵，
齐次方程组
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A
;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组【答案】（1）记
A 的行向量）是齐次线性方程组
（
Ⅱ）设齐次线性方程组
Ajc=0
与
Sx=0的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
二、计算题
5． 求解下列齐次线性方程组：
（1）
（2）