2018年内蒙古大学经济管理学院832经济学基础之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
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则P 可逆，
且
2
．
已知矩阵可逆矩阵
P ，
使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵
A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A
的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量
，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，
矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 3． 设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
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得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4
×3矩阵，设对矩阵（
AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足
AB=£；
的所有矩阵为其中为任意常数.
4． 设
n 阶实对称矩阵A 满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形
；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵
A 的特征值
，对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
的规范形为
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